大多數(shù)數(shù)學活動涉及發(fā)現(xiàn)抽象對象的屬性，并使用純粹的理性來證明它們。這些對象要么是自然界的抽象物，要么是現(xiàn)代數(shù)學中被規(guī)定為具有某些屬性的實體，稱為公理。一個證明包括對已經(jīng)建立的結(jié)果連續(xù)應(yīng)用演繹規(guī)則。這些結(jié)果包括以前證明過的定理、公理，以及在從自然界抽象出來的情況下，被認為是所考慮的理論的真正出發(fā)點的一些基本屬性。

在自然科學、工程、醫(yī)學、金融、計算機科學和社會科學中，數(shù)學是必不可少的。雖然數(shù)學被廣泛用于建立現(xiàn)象的模型，但數(shù)學的基本真理是獨立于任何科學實驗的。一些數(shù)學領(lǐng)域，如統(tǒng)計學和博弈論，是在與其應(yīng)用密切相關(guān)的情況下發(fā)展起來的，通常被歸入應(yīng)用數(shù)學。其他領(lǐng)域的發(fā)展獨立于任何應(yīng)用(因此被稱為純數(shù)學)，但往往后來發(fā)現(xiàn)了實際應(yīng)用。例如，整數(shù)分解問題可以追溯到公元前300年的歐幾里德，在其用于RSA密碼系統(tǒng)之前沒有任何實際應(yīng)用，現(xiàn)在廣泛用于計算機網(wǎng)絡(luò)的安全。

從歷史上看，證明的概念及其相關(guān)的數(shù)學嚴謹性首次出現(xiàn)在希臘數(shù)學中，最引人注目的是歐幾里德的《元素》。從一開始，數(shù)學基本上就被分為幾何和算術(shù)(自然數(shù)和分數(shù)的操作)，直到16和17世紀，代數(shù)[a]和無窮小微積分作為新領(lǐng)域被引入。從那時起，數(shù)學創(chuàng)新與科學發(fā)現(xiàn)之間的互動導致兩者的發(fā)展迅速同步。19世紀末，數(shù)學的基礎(chǔ)危機導致了公理法的系統(tǒng)化，這預(yù)示著數(shù)學領(lǐng)域的數(shù)量及其應(yīng)用領(lǐng)域的急劇增加。當代的數(shù)學學科分類列出了60多個數(shù)學的一級領(lǐng)域。