抽象代數(shù)是一個(gè)廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，涉及代數(shù)結(jié)構(gòu)，如群、環(huán)、向量空間和矩陣。粗略地說(shuō)，抽象代數(shù)是研究當(dāng)數(shù)系的某些屬性被抽象出來(lái)時(shí)會(huì)發(fā)生什么;例如，改變基本算術(shù)運(yùn)算的定義會(huì)產(chǎn)生一種被稱為環(huán)的結(jié)構(gòu)，只要運(yùn)算是一致的。

一、抽象代數(shù)中的抽象層次

有可能抽象出 "常規(guī) "數(shù)系中的幾乎所有屬性，其代價(jià)是所產(chǎn)生的對(duì)象--被稱為巖漿(由一個(gè)集合和一個(gè)二元運(yùn)算組成，不需要滿足除閉合之外的任何屬性)--太籠統(tǒng)而無(wú)趣。在另一個(gè)極端，有可能抽象出幾乎沒(méi)有任何屬性，這允許找到許多結(jié)果，但所產(chǎn)生的對(duì)象(通常的數(shù)字系統(tǒng))太具體，無(wú)法解決更普遍的問(wèn)題。

大多數(shù)抽象代數(shù)致力于在通用性和結(jié)構(gòu)之間取得合理平衡的對(duì)象，最明顯的是群和環(huán)(下文將詳細(xì)討論)，其中大部分算術(shù)的基本屬性被保留下來(lái)，但它們的具體內(nèi)容被自由保留。盡管如此，一些更高層次的抽象偶爾也是有用的;例如，類群與拉丁方塊有關(guān)，單體經(jīng)常用于計(jì)算機(jī)科學(xué)，是類別的簡(jiǎn)單例子。

二、集團(tuán)理論

群理論作為一個(gè)抽象的對(duì)稱性概念是很有用的，這使它適用于廣泛的領(lǐng)域：多項(xiàng)式的根之間的關(guān)系(如伽羅瓦理論)和魔方的解法都是突出的例子。

非正式地講，群是一個(gè)配備有二元運(yùn)算的集合 °，因此對(duì)群的任何兩個(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)群的元素。例如，整數(shù)在加法下形成一個(gè)群，非零實(shí)數(shù)在乘法下形成一個(gè)群。循環(huán)運(yùn)算需要滿足一些與這些 "正常 "數(shù)系類似的屬性：它應(yīng)該是關(guān)聯(lián)性的(這基本上意味著運(yùn)算的順序并不重要)，而且應(yīng)該有一個(gè)相同的元素(上面第一個(gè)例子中是0，第二個(gè)例子中是1)。更正式地說(shuō)，一個(gè)群是一個(gè)配備有操作\cdot⋅的集合，使以下公理成立;注意，\cdot⋅不一定是指乘法;相反，它應(yīng)該被視為兩個(gè)變量上的函數(shù)(事實(shí)上，\cdot⋅甚至可以指加法)：

Group Axioms

1) Associativity. For any x, y, z \in Gx,y,z∈G, we have (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).

2) Identity. There exists an e \in Ge∈G, such that e \cdot x = x \cdot e = xe⋅x=x⋅e=x for any x \in Gx∈G. We say that ee is an identity element of GG.

3) Inverse. For any x \in Gx∈G, there exists a y \in Gy∈G such that x \cdot y = e = y \cdot xx⋅y=e=y⋅x. We say that yy is an inverse of xx.

還值得注意的是閉合公理的強(qiáng)調(diào)，因?yàn)樵谔幚碜尤?完全包含在另一個(gè)子群中的群)時(shí)，驗(yàn)證閉合是很重要的：

4) Closure. For any x, y \in Gx,y∈G, x*yx∗y is also in GG.

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