抽樣分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它描述了從總體中抽取多個(gè)樣本后，樣本統(tǒng)計(jì)量(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、比例等)的分布情況。抽樣分布有助于我們理解樣本統(tǒng)計(jì)量的變異性，并且在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)提供了基礎(chǔ)。這篇文章為大家?guī)?lái)臥龍崗大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣分布重點(diǎn)解析。

一、抽樣分布概述

許多基本的多元方法都使用 F 分布及其相關(guān)檢驗(yàn)和臨界值：它是化學(xué)計(jì)量學(xué)中許多常用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)，例如，用于檢測(cè)異常值或觀測(cè)值是否屬于預(yù)定義類(lèi)別。

我們已經(jīng)看到，當(dāng)一個(gè)群體具有基本的正態(tài)分布，但樣本量較小時(shí)，t 分布適用于估計(jì)臨界值或置信限。這主要是由于確定群體標(biāo)準(zhǔn)差的難度較大，而使用的方法往往會(huì)低估標(biāo)準(zhǔn)差，從而導(dǎo)致平均值的表面分布失真。

二、卡方分布

當(dāng)我們討論卡方分布 1 時(shí)，我們注意到它代表了馬哈拉諾比斯距離均值平方的分布，特別是如果測(cè)量的變量不止一個(gè)，就沒(méi)有特定的正負(fù)方向，因此，使用平方距離(與方向無(wú)關(guān))是至關(guān)重要的。因此，卡方分布很自然地從單變量數(shù)據(jù)擴(kuò)展到了多變量數(shù)據(jù)。

當(dāng)變量不止一個(gè)但樣本量較小時(shí)，F(xiàn) 分布可視為 t 分布的等效擴(kuò)展。文獻(xiàn)中有許多引入該分布的方法，它被廣泛應(yīng)用于許多不同的領(lǐng)域。在本文和下一篇文章中，我們主要關(guān)注多維空間中的數(shù)據(jù)分布：F 分布通常在方差分析中引入。在以后的文章中，我們還會(huì)在其他場(chǎng)合遇到這種分布及其相關(guān)統(tǒng)計(jì)量。

三、自由度

F 分布有兩種不同的自由度。

通常寫(xiě)作 F(ν1,ν2)。F 分布的累積分布函數(shù)(cdf)或概率密度函數(shù)的橫軸代表 F 統(tǒng)計(jì)量。我們將在下一篇文章中看到，如果變量不止一個(gè)，它就不等于馬哈拉諾比斯距離的平方，這與卡方統(tǒng)計(jì)量不同。

在我們的上下文中，如果我們考慮一個(gè)由 n 個(gè)觀測(cè)值和 k 個(gè)變量組成的樣本，那么 ν1 表示變量的數(shù)量，ν2 表示觀測(cè)值的數(shù)量減去變量的數(shù)量(n - k)。

注意，F(xiàn)(ν1, ν2) ≠ F(ν2, ν1)。

如果數(shù)據(jù)集以矩陣格式表示，那么行數(shù)等于 ν2 + ν1，列數(shù)等于 ν1。

需要注意的是，定義矩陣的維數(shù)時(shí)，通常是先行后列，但為了 F 分布的目的，我們將其對(duì)調(diào)，第一個(gè)自由度指的是數(shù)據(jù)矩陣中的變量數(shù)或列數(shù)。如圖 1 所示。

請(qǐng)注意，n 不能小于 k。這個(gè)明顯的限制已在 Mahalanobis 距離 2 中討論過(guò)。不過(guò)，可以通過(guò)先進(jìn)行主成分分析以減少變量數(shù)量來(lái)克服這一限制。

重要的是要記住，與卡方分布一樣，F(xiàn) 分布只有在變量獨(dú)立的情況下才能得到。然而，如果我們使用馬哈拉諾比斯距離度量，則如前文所討論的那樣，F(xiàn) 分布始終是獨(dú)立的，因?yàn)檫@實(shí)際上等同于進(jìn)行主成分變換。

四、單變量關(guān)系

如果只有 1 個(gè)自由度，那么數(shù)據(jù)就是單變量的，可以得出幾種直接的關(guān)系。

為了便于說(shuō)明，我們考慮 F 值為 4 的測(cè)量。

如果樣本量較大，那么 F 分布、卡方分布和 t2 分布都會(huì)得出相同的結(jié)果。

在 Excel 中輸入 F.DIST(4,1,10 000 - 1,TRUE)，n = 10 000：4 代表 F 值，1 等于 ν1，10 000 - 1 等于 ν2。邏輯值 "TRUE "代表累積分布。這應(yīng)該給出預(yù)計(jì) F 統(tǒng)計(jì)量小于 4 的數(shù)據(jù)比例。

要檢查卡方分布，請(qǐng)輸入 CHISQ.DIST(4,1,TRUE)。

對(duì)于 t，我們應(yīng)該記住，我們處理的是 F 和卡方分布的平方距離，而使用 t 時(shí)處理的是它們的平方根，當(dāng)然本例只涉及一個(gè)變量。鍵入 (T.DIST(SQRT(4),10 000,TRUE) - 0.5)*2。這個(gè)表達(dá)式相當(dāng)長(zhǎng)，因?yàn)槲覀冃枰?jì)算 t 統(tǒng)計(jì)量位于平均值兩側(cè) +2 和 -2 之間的數(shù)據(jù)的預(yù)期比例。

所有情況下的答案都應(yīng)該是 0.954。因此，95.4% 的人口的 chi 平方或 F 統(tǒng)計(jì)量小于 4，或 t 統(tǒng)計(jì)量小于 2(4 的平方根)。

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