也許你聽說(shuō)過(guò)Évariste Galois嗎?(發(fā)音為“GAL-wah”)。今天我們將俯瞰他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最著名的貢獻(xiàn)：恰如其名的Galois理論。

一、

如果你是即將學(xué)習(xí)Galois理論的學(xué)生，希望下面的信息能為你的主課程提供一點(diǎn)前菜。在下面的“從英語(yǔ)到數(shù)學(xué)”部分，我們將簡(jiǎn)要介紹標(biāo)準(zhǔn)研究生課程中出現(xiàn)的思想，這樣當(dāng)你開始做練習(xí)時(shí)，至少能有一個(gè)鳥瞰全貌的了解。

二、

即使你不打算學(xué)習(xí)Galois理論，只是出于好奇，這篇文章也適合你!這里的信息應(yīng)該對(duì)具有至少本科抽象代數(shù)背景的任何人都是可訪問的。我將略去很多技術(shù)細(xì)節(jié)(但你不介意，對(duì)吧?)因?yàn)槲以谶@里的目標(biāo)只是傳達(dá)一些主要思想。希望這能激起你進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

總之，Galois理論揭示了群的結(jié)構(gòu)與域的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。然后利用這種關(guān)系來(lái)描述多項(xiàng)式的根是如何相互關(guān)聯(lián)的。

更具體地說(shuō)，我們從一個(gè)多項(xiàng)式 f(x)開始。它的根存在于一個(gè)域中(稱為 f(x)的分裂域)。這些根展示出一種對(duì)稱性，通過(guò)讓某個(gè)特定的群(稱為 f(x)的Galois群)對(duì)它們進(jìn)行操作來(lái)看到。我們可以通過(guò)Galois基本定理從域的結(jié)構(gòu)和反之亦然收集關(guān)于群的結(jié)構(gòu)的信息：

現(xiàn)在，為什么有人會(huì)關(guān)心排列多項(xiàng)式的根呢?這有什么好處?嗯，二次方程的公式在Galois出現(xiàn)之前就是眾所周知的(實(shí)際上可以追溯到巴比倫人)。因此，自然地，數(shù)學(xué)家們想知道，“是否存在類似的公式，適用于更高次的多項(xiàng)式?”換句話說(shuō)，是否可以將n次多項(xiàng)式的根寫成多項(xiàng)式系數(shù)的某種代數(shù)組合(加、減、乘、除、開方)?事實(shí)證明，當(dāng)n≤4時(shí)，答案是“是”，但對(duì)于任何n≥5，答案是“否”。

正是Galois對(duì)多項(xiàng)式根的排列群的研究導(dǎo)致了他發(fā)現(xiàn)尋找這種公式的必要和充分條件的發(fā)現(xiàn)。這個(gè)條件(數(shù)學(xué)家們尋找了300多年!)在將問題從域論的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為群論的語(yǔ)言時(shí)變得非常明確。Galois理論就是實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)的字典。

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