離散數(shù)學(xué)是涉及離散元素并使用代數(shù)和算術(shù)的數(shù)學(xué)分支。它被持續(xù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的許多領(lǐng)域。它被認(rèn)為是開(kāi)發(fā)和解決問(wèn)題的高效方法。離散數(shù)學(xué)側(cè)重于系統(tǒng)地研究本質(zhì)上是離散的、不需要相信連續(xù)性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它也被稱為決策數(shù)學(xué)或有限數(shù)學(xué)，研究對(duì)象可以有多個(gè)離散值。這一數(shù)學(xué)分支所研究的對(duì)象在很大程度上是可量化的，如形式語(yǔ)言、整數(shù)、有限圖等。近幾十年來(lái)，離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用，如編程語(yǔ)言、軟件開(kāi)發(fā)、密碼學(xué)、算法等。它涵蓋了圖論、集合論、概率論等各種主題。本文將給大家解釋離散數(shù)學(xué)的7個(gè)主要分支。

一、什么是離散數(shù)學(xué)?

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它所處理的對(duì)象只考慮不同和獨(dú)特的值。與連續(xù)數(shù)學(xué)不同，離散數(shù)學(xué)可以用整數(shù)來(lái)描述。它是計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可應(yīng)用于數(shù)學(xué)的實(shí)際領(lǐng)域。簡(jiǎn)而言之，離散數(shù)學(xué)提供了對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解，可以通過(guò)其各個(gè)分支來(lái)學(xué)習(xí)。

二、離散數(shù)學(xué)的7個(gè)主要分支

1.組合數(shù)學(xué)

組合數(shù)學(xué)是關(guān)于計(jì)數(shù)和組織的特殊數(shù)學(xué)。它使用數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)事物(大數(shù))進(jìn)行計(jì)數(shù)，并相應(yīng)地對(duì)它們進(jìn)行組織。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，組合方法有助于開(kāi)發(fā)和測(cè)量計(jì)算機(jī)算法所需的運(yùn)算次數(shù)。它是離散數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)重要課題。

由于它指的是事物的排序(分組)，因此可用于以均勻概率計(jì)算事件中可能出現(xiàn)的結(jié)果。對(duì)事物進(jìn)行分組的基本規(guī)則是乘積規(guī)則和總和規(guī)則，它們分別通過(guò)乘法和加法進(jìn)行排列。

組合學(xué)處理的是集合中物體的排列或可能的配置，有三種類型的組合問(wèn)題：

存在組合學(xué)：研究某些配置的存在與否。

枚舉組合學(xué)：研究給定類型的配置數(shù)量。

構(gòu)造組合學(xué)：研究確定某些相反構(gòu)型以反映其存在的方法。

2.圖論

圖論是對(duì)各種類型圖的系統(tǒng)研究，而圖歸根結(jié)底是相互連接的節(jié)點(diǎn)的集合體。簡(jiǎn)單地說(shuō)，圖是由一系列稱為邊的線連接起來(lái)的稱為節(jié)點(diǎn)或頂點(diǎn)的點(diǎn)的集合。對(duì)圖或圖論的研究是數(shù)學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)學(xué)科的重要組成部分。

圖對(duì)于表示各種實(shí)際問(wèn)題特別有用。一般來(lái)說(shuō)，圖 (G) 包含兩部分內(nèi)容;

一個(gè)集合 V = V(G)，集合的相關(guān)部分稱為 G 的頂點(diǎn)、點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)。

一個(gè)集合 E = E(G)，由無(wú)序的一對(duì)不相連的頂點(diǎn)組成，稱為 G 的邊。

3.數(shù)論

數(shù)論是對(duì)自然數(shù)的研究，尤其是對(duì)自然數(shù)可分性的研究。自然數(shù)由加法和乘法的交換運(yùn)算和聯(lián)立運(yùn)算組成，其中每個(gè)數(shù)都有一個(gè)同一性，乘法重疊加法。此外，除了標(biāo)識(shí)元素 0 和 1 之外，沒(méi)有一個(gè)自然數(shù)具有加法或乘法逆運(yùn)算。

可除性：如果對(duì)于給定的數(shù) a 和 b，(a÷b) 的結(jié)果有可能是一個(gè)整數(shù)，那么在這個(gè)條件下，可以說(shuō) b 除以 a，符號(hào)為 b | a，如果是這種情況，b 就是 a 的被除數(shù)或因數(shù)，a 就是 b 的倍數(shù)。換句話說(shuō) 如果 b | a，那么對(duì)于整數(shù) k，a = bk。關(guān)于可除性的一些有價(jià)值的事實(shí);

如果 d | m 和 d | n，那么 d | (m + n)。如果 m = ad，n = bd，那么 (m + n) = (a+b)d。

若 d | n，且 n ≠ 0，則 d ≤ n。假設(shè) n = k，d ≠ 0 意味著 k ≥ 1 意味著 n = kd ≥ d。

對(duì)于所有 d，d | 0。

若 d|m 或 d|n，則 d|mn。假設(shè) m = kd，則 mn = (nk)d，或者，如果 n = kd，則 mn = (mk)d。

有時(shí)，自然數(shù) N 的定義(包括 0)與數(shù)論家的定義(不包括 0)之間也存在矛盾。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)論家希望不包括 0，因?yàn)樵S多定理都需要 "0 以外 "的子句。

4.概率論

概率可定義為確定事件發(fā)生的可能性;用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，它是對(duì)隨機(jī)過(guò)程及其相關(guān)結(jié)果的詳細(xì)描述。要表示一個(gè)事件的概率，可以用介于 0 和 1 之間的數(shù)字來(lái)表示。各種概率法則在不同領(lǐng)域都有深遠(yuǎn)的應(yīng)用，如遺傳學(xué)、天氣預(yù)報(bào)、股票市場(chǎng)等。除這些領(lǐng)域外

離散概率是基于一組離散結(jié)果的概率。

概率的最基本形式是均勻概率。如果一組結(jié)果的可能性相同，則每個(gè)事件的概率等于各結(jié)果的概率之比。

概率的積、和、補(bǔ)定律與組合學(xué)中的相同定律類似。概率的包含與排除原理(IEP)的結(jié)構(gòu)也與組合學(xué)中的相同。

5.集合論

集合論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究對(duì)象集合。集合既可以是離散的，也可以是連續(xù)的，集合論的基本內(nèi)容是為什么以及如何對(duì)這些集合進(jìn)行排序、連接和計(jì)算。其中包括

有限集合的萬(wàn)有引力是集合中元素的個(gè)數(shù)。給定集合 A 的萬(wàn)有引力可以表示為 |A|。

集合的補(bǔ)集是不屬于該集合的元素的集合。對(duì)集合補(bǔ)集的研究也為計(jì)算有限集合的萬(wàn)有引力提供了各種方法。

組合和相交提供了幾種方法來(lái)解釋如何組合集合。

德摩根定律為組合和相交的補(bǔ)集提供了同式/定理。

包含與排除原理(PEE)提供了確定兩個(gè)或多個(gè)集合的包含或排除的過(guò)程。

6.布爾代數(shù)

布爾代數(shù)描述了由具有真(1)或假(0)值的變量定義的運(yùn)算。它用于計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路的設(shè)計(jì)，這些電路使用邏輯門將信號(hào)作為輸入并將信號(hào)作為輸出。

它遵循布爾代數(shù)的特性;

交換性質(zhì)：(i) a+b=b+a 和 (ii) a*b=b*a.

分配性質(zhì)：(i)a+(b*c)=(a+b)*(a+c)，(ii)a*(b+c)=(a*b)+(a*c)。

同余式性質(zhì)：(i) a+0=a 和 (ii) a*1=a.

完全律：(i) a+a'=1 和 (ii)a*a'=0.

7.二叉樹(shù)

沒(méi)有循環(huán)的圖稱為非循環(huán)圖。樹(shù)是無(wú)周期圖或無(wú)循環(huán)圖。樹(shù)是簡(jiǎn)單的無(wú)循環(huán)圖或無(wú)循環(huán)圖，一般樹(shù)是由稱為節(jié)點(diǎn)或頂點(diǎn)的組件組成的非空有限集合，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的階數(shù)可以是 1 或以上，也可以是 n 或以下。

如果指定的是二叉樹(shù)，那么在有向樹(shù)中，當(dāng)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的外度小于或等于 2 時(shí)，這棵樹(shù)就稱為二叉樹(shù)。包含節(jié)點(diǎn)的樹(shù)，如空樹(shù)，也是二叉樹(shù)。

二叉樹(shù)的一些基本術(shù)語(yǔ)和定義如下;

二叉樹(shù)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱為樹(shù)根。

左子：根的左邊節(jié)點(diǎn)稱為它的左子。

右子：根的右節(jié)點(diǎn)稱為右子。

父節(jié)點(diǎn)：父節(jié)點(diǎn)是指有左子節(jié)點(diǎn)或右子節(jié)點(diǎn)，或同時(shí)有左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。

同胞： 樹(shù)中具有相同父節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為同胞節(jié)點(diǎn)。

葉子：沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)稱為葉子。不過(guò)，樹(shù)中葉子的數(shù)量可以從至少一個(gè)到不超過(guò)樹(shù)中節(jié)點(diǎn)數(shù)量的一半不等。

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