抽象代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究代數(shù)系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)，這些系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)中的一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算與具有可識(shí)別模式的元素相關(guān)聯(lián)，不同于通常的數(shù)字系統(tǒng)。在抽象代數(shù)中，結(jié)合起來進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的元素不能解釋為數(shù)字，因此具有抽象性。

抽象代數(shù)的元素是對(duì)不同數(shù)系和其他數(shù)學(xué)研究對(duì)象所共有的代數(shù)性質(zhì)的抽象。因此，其目標(biāo)是學(xué)習(xí)運(yùn)算的性質(zhì)，而不考慮操作數(shù)的特征。這一分支大多創(chuàng)建于 19 世紀(jì)，以滿足對(duì)數(shù)學(xué)定義更高精度的需求。

一、抽象代數(shù)可以用來做什么?

抽象代數(shù)的主要目的是分析一個(gè)具有特殊特征或性質(zhì)的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算集合，以精確的方式了解這些運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系，以及它們之間聯(lián)系的后果和可能的結(jié)果。

二、什么是代數(shù)結(jié)構(gòu)?

在抽象代數(shù)中，"結(jié)構(gòu) "指的是具有一個(gè)或多個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合或群。這些結(jié)構(gòu)的分類依據(jù)是其中可能存在的運(yùn)算的數(shù)量，以及它們的特征、元素或子集的數(shù)量，以及主集元素之間存在的關(guān)系(無論其性質(zhì)如何)。

三、什么是構(gòu)成律?

這是抽象代數(shù)中的一個(gè)術(shù)語，用來命名一種二元運(yùn)算，即把給定集合中的兩個(gè)元素分配給另一個(gè)元素，從而產(chǎn)生不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。構(gòu)成律可以是內(nèi)部的，也可以是外部的，這取決于應(yīng)用中的元素是屬于同一個(gè)集合，還是屬于不同的集合。

內(nèi)部構(gòu)成律用以下符號(hào)表示：⊙、?、⊕、?、?、⊗和?。外部構(gòu)成規(guī)律用以下符號(hào)表示：⋅、°、+、-、?.x 和 ∕。集合用大寫字母表示(A、B、C......)，元素用小寫字母表示(a、b、c......)。

四、代數(shù)結(jié)構(gòu)有哪些類型?

抽象分支中最常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)可分為以下幾類：

單一組成律或二元運(yùn)算律：

巖漿：形式為(A,?)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中 A 是具有單一內(nèi)部二元運(yùn)算的集合。

半群：形式為(A,?)的結(jié)構(gòu)，其中 A 是一個(gè)非空集，? 是定義在 A 中的內(nèi)部運(yùn)算。

群：由非空集和內(nèi)部運(yùn)算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，內(nèi)部運(yùn)算是將一對(duì)元素組合成集內(nèi)的第三個(gè)元素。

準(zhǔn)群：具有線性項(xiàng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)類似于巖漿，具有單一的內(nèi)部組成法則，其元素是可分的。它們與群的主要區(qū)別在于它們不一定是聯(lián)立的。

單元：具有聯(lián)立運(yùn)算和中性元素的代數(shù)結(jié)構(gòu);后者是它們與半群的區(qū)別所在。

具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)合律或二元運(yùn)算：

環(huán)：由一個(gè)集合和兩個(gè)內(nèi)部二元運(yùn)算組成的代數(shù)系統(tǒng)，表示為 (R,+,?)。

體(又稱場(chǎng))：它們是交換環(huán)的除法。

模塊：在群表示理論中起作用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中群包含數(shù)學(xué)對(duì)象的具體變換。

向量空間(又稱線性空間)：由一個(gè)非空集、一個(gè)內(nèi)部運(yùn)算(稱為和)和一個(gè)外部運(yùn)算(稱為標(biāo)量積)組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。向量空間的元素稱為向量。

聯(lián)立方程：它們是模塊，也允許向量以分配和聯(lián)立的方式相乘。

李代數(shù)：定義在向量空間上的代數(shù)結(jié)構(gòu)，通常與李群相關(guān)聯(lián)。這種數(shù)學(xué)對(duì)象以前被稱為無窮小群。

格：它們是代數(shù)和階論中使用的代數(shù)結(jié)構(gòu);其名稱來源于哈塞圖的形狀。

布爾代數(shù)：概述邏輯運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，用于數(shù)學(xué)、數(shù)字電子學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)。

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